2024-07-10 20:30:30 100人浏览
一、圆的有关性质
1.圆的有关概念
(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O,旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。
(2)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(3)直径:经过圆心的弦叫做直径。
(4)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
(5)半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(6)等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
2.垂直于弦的直径
(1)圆的对称性:圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
3.弧、弦、圆心角
(1)圆心角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。
(2)圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
4.圆周角
(1)定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
(2)圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(3)圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
(4)圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。
二、点和圆、直线和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系
设O的半径为r,点P到圆心的距离为d:
(1)点P在O外,d>r;
(2)点P在O上,d=r;
(3)点P在O内,d<r.
2.三角形的外接圆
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
(2)三角形的外接圆的有关概念:经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
(3)三角形外接圆的作法
<1>确定圆心:三角形两边的垂直平分线的交点即为圆心;
<2>确定半径:交点到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径。
(4)反证法:证明一个命题时,不是直接从命题的己知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾判定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法.
3.直线和圆的位置关系
(1)相交:直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。
(2)相切:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,公共点叫做切点。
(3)相离:直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离。
(4)直线和圆的位置关系
<1>相交:公共点个数,2个;公共点名称,交点;直线名称,割线;圆心O到直线的距离d与半径r的关系,d<r;
<2>相切:公共点个数,1个;公共点名称,切点;直线名称,切线;圆心O到直线的距离d与半径r的关系,d=r;
<3>相离:公共点个数,0;公共点名称,无;直线名称,无;圆心O到直线的距离d与半径r的关系,d>r;
4.圆的切线
(1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
5.切线长
(1)切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长。
(2)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6.切线的判定和性质的应用
(1)辅助线的作法:运用切线的性质来进行计算或论证的常见辅助线是连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题。
(2)证明直线与圆相切的三种途径
①证明直线和圆有唯一公共点。
②证明直线过半径外端且垂直于这条半径。
③证明圆心到直线的距离等于圆的半径。
7.三角形的内切圆
(1)概念:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
(2)作法:
<1>确定圆心:三角形两条角平分线的交点即为圆心;
<2>确定半径:交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。
8.圆和圆的位置关系(R、r分别为大、小圆的半径,d为圆心距)
(1)相离
<1>外离:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离;d>R+r;公共点数,无。
<2>内含:两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含,两个圆的圆心重合时,我们称这两个圆是同心圆;d<R+r(内含),d=0(同心圆);公共点数,无。
(2)相切
<1>外切:两个圆有唯一的公共点,并且除这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外切;d=R+r;公共点数,1个。
<2>内切:两个圆有唯一的公共点,并且除这个公共点以外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切;d=R-r;公共点数,1个。
(3)相交:两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交;R-r<d<R+r;公共点数,2个。
三、正多边形和圆
1.有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
2.正多边形的画法:正n边形的画法思想是将圆n等分,然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。
3.正多边形的计算
设正多边形的边数为n,半径为R,边心距为r,边长为a,则:
(1)内角:;
(2)中心角:;
(3)半中心角:;
(4)半径:;
(5)周长:;
(6)面积:.
四、弧长和扇形面积
1.弧长公式:圆心角所对的弧长.
2.扇形的面积公式:圆心角为的扇形面积是.
3.母线的定义:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体,把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
4.圆锥侧面相关计算
设圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,则:
圆锥侧面积:.
圆锥的全面积:.