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三角函数定义域单调性区间求法（三角函数单调性求参数范围的四种解法）

2024-08-20 08:15:27  100人浏览



第一个解法从函数图像的伸缩平移的角度入手，f(x)是由y=sinx先平移再伸缩得来，y=sinx向左平移π/4的单位后得到y=sin(x+π/4)，y=sin(x+π/4)的减区间为(π/4,5π/4)，y=sin(x+π/4)与y=sin(ωx+π/4)的区别就是横坐标的伸缩，所以y=sin(ωx+π/4)的单调减区间为(π/4·1/ω,5π/4·1/ω),若保证函数在(π/2,π)上单减，只需安排两个区间四个端点的大小关系即可，理解起来相对容易，但在伸缩上容易犯错，若熟练掌握伸缩平移，可使用这种方法。

第二个解法属于常规的换元后卡在对应的增减区间内，是最容易理解的一种方法，下面的解析过程并没有事先用区间长度和半个周期的比较确定ω的大致范围，而是通过方程组有解时确定k的范围后再确定k的取值，但这样做明显多了一步，不如直接用区间长度和T/2比较后对k进行赋值容易。

第三个解法属于求出平移伸缩后整体的单调减区间，再把(π/2,π)卡到减区间内即可，此时的单调区间有无数个，需对k进行赋值，常规验证k=0,k=1,k=-1，但很多时候所需赋值能直接看出，没必要挨个验证，这种方法不如方法二，不推荐使用。

第四个解法从导数的角度入手，将单调转化为三角函数在区间内非负或非正，再从解三角不等式的角度入手即可，如果熟知单位圆和三角函数线在三角函数中的应用，这种方法反而是最容易的一种。

以上四个方法均可使用，但推荐先确定区间长度和半个周期的大小后换元赋值，即上述第二种解法，与单调性有关的参数范围求解难度不大，理解解题原理即可，给出一道挺不错的相关案例题：

这个题只是把上述已知的φ用任意性表示而已，解法和上述相同，只是多了一步用任意性消去φ的过程，由于题目中并未告知ω的正负，所以换元时需要分三个情况讨论，题目难度不大，过程如下：


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